2021-01-05. Відео 1, Відео 2, Конспект
Def. Лінійно-незалежні вектори. Вектори \(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k} \in \mathbb{R}^n\) є лінійно залежними, якщо існують такі числа \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k} \neq 0\), що \(\alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+\ldots+\alpha_{k} a_{k}=0\). У зворотньому випадку вони є лінійно незалежними
Def. Лінійно-незалежна система точок в \(\mathbb{R}^{n}\). Скінченна множина точок \(A=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k}\right\} \subset \mathbb{R}^{n}\) називається ЛНЗ системою точок, якщо вектори \(x_{1} - x_{0}\), \(x_{2} - x_{0}\), \(x_{3} - x_{0}\), \(\ldots\), \(x_{k} - x_{0}\) - лінійно незалежні.
Лема. Нехай \(A=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k}\right\} \subset \mathbb{R}^{n}\). Нехай \(B\) - перестановка точок в \(A\) , де \(B = \left\{x_{1}, x_{0}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\}\). Тоді:
Def. Симплекс. Нехай \(A=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k}\right\}\) – ЛНЗ система в \(\mathbb{R}^{n}\). Тоді \(\bar{A}=\left\{\alpha_{0}x_{0}+\alpha_{1}x_{1}+\ldots+ \alpha_{k}x_{k}\mid\alpha_{i}\geq0, \sum \alpha_{i}=1\right\}\) називається симплексом, породженим \(A\).
Def. Для точки виду \(x=\alpha_{0}x_{0}+\alpha_{1}x_{1}\), набір \(\alpha_{0},\alpha_{1}\) називається її барицентричними координатами.
Лема. Нехай \(A=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k}\right\}\) – система точок в \(\mathbb{R}^{n}\), \(\bar{A}=\left\{\alpha_{0}x_{0}+\alpha_{1}x_{1}+\ldots+ \alpha_{k}x_{k}\mid\alpha_{i}\geq0, \sum \alpha_{i}=1\right\}\). Тоді наступні умови еквівалентні:
Def. Вершини, грані TODO
Def. Правильно розміщені симплекси. Нехай \(\bar{A}\), \(\bar{B}\) \(\subset \mathbb{R}^{n}\) – два симплекси. Тоді вони є правильно розміщеними, якщо:
Def. Поліедр. Поліедр \(K\) в \(\mathbb{R}^{n}\) – це об’єднання скінченого числа симплексів \(A_{1}, \ldots, A_{l}\), таких що \(\forall A_{i} A_{j}\) є правильно розміщеними
Def. Представлення \(K\) як \(\bigcup_{i}A_{i}\), де \(A_{i}\), \(A_{j}\) правильно розміщені називається триангуляцією \(K\).
Def. Барицентричне розбиття TODO
Def. Конус. Нехай \(K\) – поліедр в \(\mathbb{R}^{n}\), \(x \in \mathbb{R}^{n}\). Припустимо, що \(\forall a \in K. [x,a)\) – промінь, що виходить з \(x\), – \([x, a) \cap K = \{a\}\). Тоді \(CK=\bigcup_{a \in K} [x, a)\) називаємо конусом над мноиною \(\mathbb{R}^{n}\).
Наслідок. Конус \(C_{x}K\) над поліедром \(K\) (з триангуляцією \(\sigma\)) є поліедром і має “природну триангуляцію” \(C_{x}(\sigma)\)
Лема. Нехай \(A\) і \(B\) – два симплекси, які правильно розміщені і \(\exists\) конус \(C_x(A\cup B)\) з вершиною в точці \(x\). Тоді \(C_x(A \cup B)=CA \cup CB\) і \(C_xA\) та \(C_xB\) – правильно розміщені.
Лема. Нехай \(K=\cup A_i\) – скінченне об’єднання симплексів в \(\mathbb{R}^{n}\)’. Тоді \(\exists\) триангуляції \(q(A_i)\) і \(A_{i}=\cup_{j} {B_{i}}_{j}\) такі що \(K=\cup_i \cup_j {B_i}_j\) і \({B_i}_j\) – правильно розміщені.
Наслідок Об’єднання скінченного числа ’симплексів є поліедром.
Def. Регулярний окіл поліедра TODO
Def. \(K\) – поліедр з триангуляцією \(q\), \(K = \cup_{i \in \Lambda}A_i\). Тоді \(\forall L=\cup_{i \in V \subset \Lambda} A_i\) – підполіедр.
Def. Зірка підполіедра \(L\) – об’єднання всіх симплексів в \(K\), які перетинають \(L\).
Def. Регулярний окіл \(L\) в \(K\) – це зірка \(L\) відносно 2-го барицентричного підпокриття \(K\).
Def. Симпліціальний комплекс. Нехай \(K\) – довільна множина. \(\Sigma(K)\) – деяка сім’я скінчених підмножин в \(K\), яка є “замкнена відносно взяття підмножини”, тобто якщо \(A \in \Sigma(K)\) і \(B \subset A\), то \(B \in \Sigma(K)\). Тоді \(\Sigma(K)\) називають симплиціальною структурою на K, а \((K, \Sigma(K))\), або просто \(K\) називають симпліціальним комплексом.
Наслідок Якщо \(A,B\in \Sigma(K)\), тоді \(A \cap B \in \Sigma(K)\) і є спільною гранню \(A\) і \(B\).
Def Геометрична реалізація. Нехай \(L \subset \mathbb{R}^{n}\) – поліедр (\(L=\cup_{i}A_i\), \(\forall A_i A_j\) правильно розміщені). Тоді \(L\) можна представити у відповідність симпліціальний комплекс \(K\), який буде побудований наступним чином:
Тоді \(\Sigma(K)\) – симпліціальна структура на \(K\) і \(L\) назвають геометричною реалізацією K.
Теорема Нехай \(K\) – скінч симпліціальний комплекс з \(n\) вершинами. Тоді існує його геометрична реалізація у вигляді підкомплекса симплекса розмірності \(n-1\).